MOMENT & BARYCENTRE


MOMENT & BARYCENTRE


Pourquoi y a-t-il équilibre dans le cas de la fig.1 où la règle repose en son milieu sur le point de suspension et où les deux masses mises en présence (m1 et m2) sont identiques ?
Justement, parce que les deux masses sont identiques ? Pas seulement.
Parce que la règle repose en son milieu ? Incomplet !

Dans le cas de la fig.2 il y a aussi équilibre et pourtant les masses ne sont pas égales et la règle ne repose pas en son milieu !


Alors que dans les cas des fig.3 et fig.4, il y a déséquilibre.


m1 = m2
l1 < l2

m1 < m2
l1 = l2

On sent très vite que l'équilibre tient à quelque chose qui combine masse (m) et distance (l) au point de suspension G.
Ce quelque chose se nomme le moment (M).

Et le moment d'une force (dans ce cas exercée par une masse) est tout simplement le produit de l'intensité de cette force (masse) par la distance entre le point d'application de cette force et l'axe de rotation (ici le point d'appui).

M1 = m1 × l1
M2 = m2 × l2

Il y a donc équilibre lorsque les moments sont égaux c'est-à-dire lorsque M1 = M2, donc lorsque m1 × l1 = m2 × l2.
Ce qui revient à l'égalité suivante :

m1 / m2 = l2 / l1

Nous avons là une proportion inverse qui explique que plus le bras de levier est long, moins la force à exercer pour un même effet doit être importante. "Donnez-moi un levier assez long...!"

Application au barycentre

Dans le cas qui nous préoccupe (barycentre pondéré entre deux villes dont on connait le poids respectif et l'éloignement), nous connaissons m1, m2 et L.
Il ne nous reste donc qu'une inconnue : l1 (ou l2, l'un pouvant être déduit de l'autre et de L).
Nous avons le système suivant :

m1 × l1 = m2 × l2
et
l2 = L - l1

=> m1 × l1 = m2 (L - l1)
=> m1 × l1 = m2 × L - m2 × l1
=> m1 × l1 + m2 × l1 = m2 × L
=> l1 (m1 + m2) = m2 × L

d'où l1 = L × m2/(m1 + m2)

Et ajoutons à cela que puisqu'il y a équilibre, tout l'ensemble repose sur le point G (centre de gravité).
Aussi, ce barycentre a-t-il comme poids la somme m1 + m2.

Selon ce principe, on peut calculer le barycentre du système "BOURGES-CHERBOURG".
Bourges ayant comme coefficient 1, posons m1 = 1.
Cherbourg ayant comme coefficient 2, posons m2 = 2.
La distance entre les deux villes étant de 405 km, posons L = 405.

Notre équation devient alors : l1 = 405 × 2 / (1 + 2) = 405 × 2/3 = 270 km.

Le barycentre entre Bourges et Cherbourg (nommé A dans le tableau ci-dessous) se situe donc à 270 km de Bourges (donc à seulement 135 km de Cherbourg qui "pèse" plus lourd) et ce barycentre "pèse" m1 + m2 c'est-à-dire 3.

Un calcul identique permet de trouver le barycentre B situé entre A et Dieppe. Il se situe à l1 de A, soit à 154 × 3 / (3 + 3) = 154 × 3/6 = 154 × 1/2 = 77 km et "pèse" 6.

La démarche sera répétée entre ce barycentre B et Epernay afin de trouver le nouveau barycentre C, etc.

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